ksnct(12) RSA

Math I 150点

RSA暗号を復号する問題です。素因数p,qが既知であるため拡張ユークリッドの互除法を用いて復号することができます。

RSA暗号

とても大きな素因数p,qがあったときに、p,qの積nを求めるのは簡単だが、nからp,qを求めるのは難しいということを利用した暗号。

暗号化

c = m^e mod n (m: 平文, e: 公開鍵)

復号

m = c^d mod n (d: 秘密鍵)

フェルマーの小定理より、p-1とq-1の最大公倍数Lと公開鍵eを用いて、ed≡1(mod L)となる。この時dは拡張ユークリッドの互除法を用いて求めることができる。

拡張ユークリッドの互除法では、 「x, y を正の整数とし，c = gcd(x, y) とするとき，ax + by = c となる整数 a, b が存在し，a, b は計算することが出来る」

今回ax + by = cの式の x = e, y = Lとすれば、c = gcd(x, y) = 1となり、

ae + bL = 1

ea≡1(mod L)

ed≡1(mod L)と比較すると、a = d で a は求めることができるためdを求めることができた。

コード

import math
import codecs

def ex_euclid(x, y):
    c0, c1 = x, y
    a0, a1 = 1, 0
    b0, b1 = 0, 1
    while c1 != 0:
        m = c0 % c1
        q = c0 // c1
        c0, c1 = c1, m
        a0, a1 = a1, (a0 - q * a1)
        b0, b1 = b1, (b0 - q * b1)
    return a0

e = 65537
n = 1517330236262917595314610888889322115651087080826711948897066340883208205571592392362650858571076247939805436226544833224526137582834770402681005343930059463684528957271778199162575053306238099823295117697031968370690372250916935800738698142103275969223264184374648246277564306900886005299731265812255274723175925185522344831066577166867786835955092059346244885587228196357297758371381557924676260190209536670230008561217008649261974735505203813478978893582292682827884118215872470401293272325715864815977064075988643101088355047954735427424641386870772845440782632933485165110172437511822736907550777817722248753671107339823410418938404382732079381329288400012929311347390423061254658780185245562668131009832293474920208834795460061115101364091252176594144096675899952570380792978037217747311595899301451192342027799533264325948876556110474850761538179748318187805312451895898751337975457949549497666542175077894987697085521882531938339334715190663665300179658557458036053188152532948734992896239950564081581184284728802682982779186068791931259198917308153082917381616147108543673346682338045309449569430550618884202465809290850964525390539782080230737593560891353558335337408957948041667929154230334506735825418239563481028126435029
c = 225549592628492616152632265482125315868911125659971085929712296366214355608049224179339757637982541542745010822022226409126123627804953064072055667012172681551500780763483172914389813057444669314726404135978565446282309019729994976815925850916487257699707478206132474710963752590399332920672607440793116387051071191919835316845827838287954541558777355864714782464299278036910958484272003656702623646042688124964364376687297742060363382322519436200343894901785951095760714894439233966409337996138592489997024933882003852590408577812535049335652212448474376457015077047529818315877549614859586475504070051201054704954654093482056493092930700787890579346065916834434739980791402216175555075896066616519150164831990626727591876115821219941268309678240872298029611746575376322733311657394502859852213595389607239431585120943268774679785316133478171225719729917877009624611286702010936951705160870997184123775488592130586606070277173392647225589257616518666852404878425355285270687131724258281902727717116041282358028398978152480549468694659695121115046850718180640407034795656480263573773381753855724693739080045739160297875306923958599742379878734638341856117533253251168244471273520476474579680250862738227337561115160603373096699944163
p = 34111525225922333955113751419357677129436029651245533697825114748126342624744832960936498161825269430327019858323450578875242014583535842110912370431931233957939950911741013017595977471949767235426490850284286661592357779825212265055931705799916913817655743434497422993498931394618832741336247426815710164342599150990608143637331068220244525541794855651643135012846039439355101027994945120698530177329829213208761057392236875366458197098507252851244132455996468628957560178868724310000317011912994632328371761486669358065577269198065792981537378448324923622959249447066754504943097391628716371245206444816309511381323
q = 44481453884385518268018625442920628989497457642625668259648790876723318635861137128631112417617317160816537010595885992856520476731882382742220627466006460645416066646852266992087386855491152795237153901319521506429873434336969666536995399866125781057768075533560120399184566956433129854995464893265403724034960689938351450709950699740508459206785093693277541785285699733873530541918483842122691276322286810422297015782658645129421043160749040846216892671031156465364652681036828461619272427318758098538927727392459501761203842363017121432657534770898181975532066012149902177196510416802134121754859407938165610800223

L = (p-1)*(q-1)//math.gcd(p-1, q-1)
d = ex_euclid(e,L)

m = pow(c,d,n)
print(codecs.decode(("%0512x"%m), 'hex'))

問題文にあるdecodeの処理がpython2で書かれているため、python3風に書き直して実行すればFLAGゲット。